Ač má za sebou Radim Bičánek bohatou a rozmanitou kariéru, v domovské krajině mnoho sezon nepůsobil. Rodák z Uherského Hradiště zamířil v brzkém věku do Jihlavy, kde také odehrál svou první (a na dlouhou dobu poslední) extraligovou sezonu. Na jejím sklonku zaujal pozornost mládežnických trenérů a zahrál si na mistrovství světa juniorů i dorostu. Pokaždé skončil na třetím místě, mezi dorostenci navíc vsítil tři branky a byl vyhlášen nejlepším bekem turnaje. Psal se tehdy rok 1993 a v kariéře Radima Bičánka nastal velký zlom.
Po úspěšném zakončení první extraligové sezony zamířil totiž za velkou louži, kde si již ve druhé sezoně zahrál v týmu Ottawa Senators. V roce 1997 si vyzkoušel i play off, následně několikrát převlékl dres - válčil za Chicago a Columbus. Právě v týmu "Modrokabátníků" zažil i svou nejúspěšnější zámořskou sezonu, v roce 2002 tu odehrál 60 duelů a jednou i skóroval. Celkově se jeho počet startů v nejprestižnější lize světa zastavil na čísle 122 (k tomu sedm bitev v play off). Kromě toho odehrál spoustu zápasů v nižších soutěžích.
V roce 2004 (poté, co předchozí sezonu vynechal) zamířily jeho kroky zpět do Čech, konkrétně do Znojma. Zde se vypracoval na jednoho z klíčových zadáků týmu. V dresu Orlů odehrál pět sezon a nastřádal 94 kanadských bodů, čímž se jeho celkový bodový počin v extralize zastavil na kulatém čísle 100. Slušné výkony mu vynesly i pozvánku do reprezentace, na začátku sezony 2005/2006 odehrál v nejcennějším dresu tři zápasy. Na turnaji v Liberci se postupně představil proti Finsku, Švédsku a Rusku, ovšem nebodoval.
Statistiky:
Sezóna Klub Z G A B TM 1992-93 HC Dukla Jihlava (E) 43 3 3 6 0 1993-94 Belleville Bulls (OHL) 63 16 27 43 49 Belleville Bulls (OHL, p-o) 12 2 8 10 21 1994-95 Prince Edward Island Sena (AHL, p-o)3 0 1 1 0 Ottawa Senators (NHL) 6 0 0 0 0 Belleville Bulls (OHL) 49 13 26 39 61 Belleville Bulls (OHL, p-o) 16 6 5 11 30 1995-96 Worcester IceCats (AHL) 44 1 15 16 22 1996-97 Ottawa Senators (NHL) 21 0 1 1 8 Ottawa Senators (NHL, p-o) 7 0 0 0 8 1997-98 Detroit Vipers (IHL) 9 1 3 4 16 Manitoba Moose (IHL) 42 1 7 8 52 Ottawa Senators (NHL) 1 0 0 0 0 1998-99 Grand-Rapids Griffins (IHL) 46 8 17 25 48 Chicago Blackhawks (NHL) 7 0 0 0 6 Ottawa Senators (NHL) 7 0 0 0 4 1999-00 Cleveland Lumberjacks (IHL) 70 5 27 32 125 Cleveland Lumberjacks (IHL, p-o) 9 2 2 4 8 Chicago Blackhawks (NHL) 11 0 3 3 4 2000-01 Syracuse Crunch (AHL) 68 22 43 65 124 Syracuse Crunch (AHL, p-o) 5 4 2 6 2 Columbus Blue Jackets (NHL) 9 0 2 2 6 2001-02 Columbus Blue Jackets (NHL) 60 1 5 6 34 2002-03 Syracuse Crunch (AHL) 56 6 17 23 111 Binghamton Senators (AHL) 21 3 10 13 42 Binghamton Senators (AHL, p-o) 14 2 4 6 26 2004-05 HC Znojemští orli (E) 51 8 18 26 108 2005-06 HC Znojemští orli (E) 49 6 11 17 132 HC Znojemští orli (E, p-o) 11 0 1 1 20 2006-07 HC Znojemští orli (E) 49 10 5 15 90 2007-08 HC Znojemští orli (E) 45 8 10 18 109 HC Znojemští orli (E, p-o) 3 0 0 0 27 2008-09 HC Znojemští orli (E) 48 8 6 14 128 HC Znojemští orli (E, out) 12 1 2 3 10 Celkem Nejvyšší soutěž ČR 311 44 56 100 524